וְנִגְּשׁ֣וּ הַכֹּהֲנִים֮ בְּנֵ֣י לֵוִי֒ כִּ֣י בָ֗ם בָּחַ֞ר יְהוָ֤ה אֱלֹהֶ֙יךָ֙ לְשָׁ֣רְת֔וֹ וּלְבָרֵ֖ךְ בְּשֵׁ֣ם יְהוָ֑ה וְעַל־פִּיהֶ֥ם יִהְיֶ֖ה כָּל־רִ֥יב וְכָל־נָֽגַע׃
Então se aproximarão os Cohanim, filhos de Levi, porque YHVH, teu Deus, os escolheu para servirem-no e para abençoarem em Nome de YHVH, e por sua palavra se decidirá toda disputa ou caso de lesão.
Shenei Luchot HaBerit
I myself feel that the reason this procedure involved the priests (as we read in 21,5) is because the priest represents the attribute חסד. It is this attribute which is required to neutralise the forces of the accuser.